卡特·哥德尔

他旋动数学的透镜注视着数学本身，偶然间他发现了著名的“不完全定理”——它像—支锥子穿透了形式主义的心脏。

1906年卡特·哥德尔生于布伦城，那时布伦是奥匈帝国的领土，现在它属于捷克共和国的一部分。他的父亲是一家纺织厂的经理，喜爱逻辑学和进行推理，他的母亲则一直提倡对自己的独生子要尽早教育。10岁之前，哥德尔一直在学习数学、宗教和好几种语言。到25岁时，他已经提出了被许多人认为是20世纪最重要的数学成果的“不完全定理”。1931年，哥德尔提出了他的发现，引起了人们的震惊和迷茫。它表明，世界上最著名的数学家的将近一个世纪的努力是注定要失败的。

为了对哥德尔的理论表示赞赏，去理解那个时代数学怎样被感知，是一件残忍的事情。多少个世纪以来，人类处于典型的泥水不分的混沌状态，那时人的模糊直觉和明白无误的逻辑思考是搅和在一起的，直到19世纪末期，数学才终于有了发展。所谓的形式体系被设计了出来，就像从树干上长出了枝丫，定理从推论公理中生了出来。形式体系表明，得出定理的过程必须从某个地方开始，并且这个地方一定是存在公理的地方，它们是原始的种子，是其他数学结论的源泉。

机械数学观的优点是它剔除了所有思考和判断的需要。只要公理是正确的叙述，并且只要推理的法则是正确的，数学就不会出轨，谎言就不会轻而易举地得逞。

为了发挥标准数字、加号、括号及其他符号的优势，人们经常把文字叙述写成用一系列符号表示的形式体系。但是，那时这些符号并不是数学的一个必要特征。虽然文字叙述同样被用来表示李子、香蕉、苹果和橘子，然而那时候，数学叙述（由任意符号构成）越来越明显地成为数学的一种单纯的精确的结构模式。

很快，少数几个有远见的人物开始懂得了数学叙述的特点，哥德尔即是他们中的佼佼者，这种看待事物的方式打开了数学的一个新的分支学科——抽象数学。常用的数学分析方法是与抽象数学的模仿一萌芽阶段相联系的，这一阶段形成了形式体系的本质——数学本身被假设为抽象数学的原始样本。这样数学就像一条自食的蛇一样又扭过头来盘住了自己。

哥德尔表明，怪异的结论恰恰来自用数学透镜观看数学本身时的聚焦过程。理解这一结论的方法之一就是想象在一颗遥远的行星上（比如说火星），所有用于写传奇作品的符号碰巧是我们平时用的0~9的阿拉伯数字。这样，火星人将会在他们教科书中讨论一个著名的发现，他们会发现地球上的我们与欧几里德有关，而同时我们会说：“他们的作品中有许多素数，”他们写的东西则像这样：“8445329844508787866873070005766619463864545067111。”对我们来说它像一个46位的数字。而对火星人来说，它根本不是数字，而是一句陈述语。的确，对他们来说，他们写的这些素数代表着34个字母，6个单词和几行话，就像我和你应用英文字母一样。

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